📊 El modelo GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) es una herramienta fundamental en econometría para modelar y predecir la volatilidad en series temporales, especialmente en mercados financieros.
🧠 ¿Qué es el modelo GARCH?
El modelo GARCH es una extensión del modelo ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) desarrollado por Robert Engle en 1982. Fue introducido por Tim Bollerslev en 1986 para abordar limitaciones del ARCH al modelar la heterocedasticidad condicional en series temporales.
En términos simples, el modelo GARCH permite que la varianza condicional de una serie temporal dependa tanto de los errores pasados como de las varianzas pasadas, proporcionando una representación más flexible y precisa de la volatilidad.
📋 Estructura matemática del modelo GARCH(1,1)
El modelo GARCH(1,1) es el más común y se define como:
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Ecuación de la serie temporal: $$ y_t = \mu + \epsilon_t $$ Donde:
- ( y_t ): Valor de la serie en el tiempo ( t ).
- ( \mu ): Media de la serie.
- ( \epsilon_t ): Error o residuo en el tiempo ( t ).
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Ecuación de la varianza condicional: $$ \sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 $$ Donde:
- ( \sigma_t^2 ): Varianza condicional en el tiempo ( t ).
- ( \alpha_0 ): Constante.
- ( \alpha_1 ): Coeficiente del término ARCH (impacto de los errores pasados).
- ( \beta_1 ): Coeficiente del término GARCH (impacto de las varianzas pasadas).
🔍 Interpretación de los parámetros
- ( \alpha_0 ): Representa la varianza base o incondicional.
- ( \alpha_1 ): Captura el efecto de los choques recientes en la volatilidad.
- ( \beta_1 ): Refleja la persistencia de la volatilidad a lo largo del tiempo.
Para que el modelo sea estacionario, se requiere que: $$ \alpha_1 + \beta_1 < 1 $$
📈 Aplicaciones del modelo GARCH
El modelo GARCH es ampliamente utilizado en:
- Mercados financieros:
- Modelar la volatilidad de precios de activos, tasas de interés y tipos de cambio.
- Calcular el Value at Risk (VaR).
- Gestión de riesgos:
- Identificar períodos de alta volatilidad para ajustar estrategias de inversión.
- Econometría:
- Analizar series temporales con heterocedasticidad condicional.
⚠️ Limitaciones del modelo GARCH
- Asume normalidad: Los residuos suelen no seguir una distribución normal en datos financieros.
- No captura asimetrías: No considera que los choques negativos pueden tener un mayor impacto en la volatilidad que los positivos (modelos como EGARCH o TGARCH abordan esto).
- Complejidad: La estimación de parámetros puede ser computacionalmente intensiva.
🛠️ Extensiones del modelo GARCH
Existen varias extensiones del modelo GARCH para abordar sus limitaciones:
- EGARCH (Exponential GARCH): Captura asimetrías en la volatilidad.
- TGARCH (Threshold GARCH): Introduce umbrales para diferenciar el impacto de choques positivos y negativos.
- GARCH-M (GARCH in Mean): Permite que la media dependa de la varianza condicional.
🧪 Ejemplo práctico
Supongamos que queremos modelar la volatilidad de los retornos diarios de una acción utilizando un modelo GARCH(1,1). Los pasos serían:
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Calcular los retornos: $$ r_t = \ln(P_t / P_{t-1}) $$ Donde ( P_t ) es el precio en el tiempo ( t ).
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Ajustar un modelo ARIMA: Identificar y eliminar patrones de media en la serie.
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Estimar el modelo GARCH: Usar software estadístico como R, Python (biblioteca
arch) o EViews para estimar los parámetros ( \alpha_0 ), ( \alpha_1 ) y ( \beta_1 ). -
Validar el modelo: Verificar que los residuos sean ruido blanco y que ( \alpha_1 + \beta_1 < 1 ).
💬 El modelo GARCH es una herramienta poderosa para entender y predecir la volatilidad, pero debe ser utilizado con cuidado, considerando sus supuestos y limitaciones.